Integration numérique

On considère une fonction $f$ intégrable sur un intervalle $[a\,,b]$ et on souhaite calculer

$$\int_a^b f(x)dx.$$

Il n'est pas toujours possible de calculer et d'expliciter la valeur exacte de cette intégrale. On peut par contre chercher à en calculer une valeur approchée avec une précision aussi bonne que l'on souhaite.

Partie A - Méthode des rectangles

L'intégrale à calculer correspond géométriquement à l'aire algébrique de la région délimitée par la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

L'idée de la méthode des rectangles consiste à approcher cette aire par la somme des aires de rectangles tels que représentés sur la figure ci-dessous :

Méthode des rectangles

On réalise pour cela une subdivision régulière du segment $[a\,,b]$, en partageant ce segment en $n$ segments de même longueur. Plus $n$ est grand, plus l'aire de ces rectangles sera proche de l'aire que l'on souhaite déterminer.

Question 1

On note $R(n)$ l'aire totale des rectangles. Exprimer $R(n)$ en fonction de $f$, $a$, $b$ et $n$.

Question 2

Écrire le code de la fonction somme_rectangles(f, a, b, n).

In [ ]:
 

Question 3

Quelles valeurs approchées de $\int_1^2 x^2dx$ fourni la fonction somme_rectangles pour des valeurs de $n=10, 100, 1000, 10000$ ?

Comment semble évoluer la précision en fonction de $n$ ?

In [ ]:
 

Question 4

Calculer des valeurs approchées de

$$G = \int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin(t) dt \quad\text{et}\quad H = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\ln(t)}{t} dt. $$
In [ ]:
 

Partie B : Méthode des trapèzes

L'idée de la méthode des trapèzes est d'approcher l'intégrale par la somme des aires des trapèzes tels que ceux représentés sur la figure ci-dessous :

Méthode des trapèzes

Question 5

On note $T(n)$ l'aire totale des trapèzes. Exprimer $T(n)$ en fonction de $f$, $a$, $b$ et $n$.

Question 6

Écrire le code de la fonction somme_trapezes(f, a, b, n).

In [ ]:
 

Question 7

Quelles valeurs approchées de $\int_1^2 x^2dx$ fourni la fonction somme_trapezes pour des valeurs de $n=10, 100, 1000, 10000$ ?

Comment semble évoluer la précision en fonction de $n$ ?

In [ ]:
 

Question 8

Calculer des valeurs approchées de

$$G = \int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin(t) dt \quad\text{et}\quad H = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\ln(t)}{t} dt. $$
In [ ]:
 

Question 9

Quelle est la valeur exacte de $H = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\ln(t)}{t} dt$ ?

Question 10

Écrire un programme qui détermine l'entier $n$ minimal pour que la valeur approchée de $H$ avec $n$ rectangles soit, en valeur absolue, inférieure à $10^{-3}$.

In [ ]:
 

Question 11

Faire la même chose avec la méthode des trapèzes. Comparer.

In [ ]: